高 三 数 学 · 解 析 几 何 专 题
斜率之积
—— 从一道课本题，走到高考压轴
一轮复习 圆锥曲线
起点 · 一道课本味道的题
Ellipse · Constant Product of Slopes
定值 · 定点
例
已知椭圆 \(C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1\) 的左、右顶点分别为 \(A\)、\(B\)，右焦点为 \(F\)，
过点 \(F\) 的直线 \(l\) 与椭圆 \(C\) 交于 \(M\)、\(N\) 两点。
（1）判断 \(k_{AM}\cdot k_{AN}\) 是否为定值，若是，求出该定值；
（2）若直线 \(l'\) 与椭圆 \(C\) 交于 \(P\)、\(Q\) 两点，且 \(k_{PA}\cdot k_{QA}=-\dfrac{9}{4}\)， 判断 \(l'\) 是否过定点，若是，求出该定点坐标。
（1）判断 \(k_{AM}\cdot k_{AN}\) 是否为定值，若是，求出该定值；
（2）若直线 \(l'\) 与椭圆 \(C\) 交于 \(P\)、\(Q\) 两点，且 \(k_{PA}\cdot k_{QA}=-\dfrac{9}{4}\)， 判断 \(l'\) 是否过定点，若是，求出该定点坐标。
第（1）问 · 通法联立
Eliminate x · Vieta
常规解法
解 析
设直线 \(l:x=ty+1\)（避开斜率不存在的讨论），\(M(x_{1},y_{1})\)、\(N(x_{2},y_{2})\)。
与 \(3x^{2}+4y^{2}=12\) 联立消去 \(x\)，得 \((3t^{2}+4)y^{2}+6ty-9=0\)。
韦达定理：\(y_{1}+y_{2}=\dfrac{-6t}{3t^{2}+4}\)，\(y_{1}y_{2}=\dfrac{-9}{3t^{2}+4}\)。
又 \((x_{1}+2)(x_{2}+2)=t^{2}y_{1}y_{2}+3t(y_{1}+y_{2})+9=\dfrac{36}{3t^{2}+4}\)。
✓
\(k_{AM}\cdot k_{AN}=\dfrac{y_{1}y_{2}}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}=-\dfrac14\)，是定值
第（1）问 · 齐次化
Homogenization
一步到位
解 析
把原点平移到 \(A\)：令 \(X=x+2,\ Y=y\)，则 \(A\) 成为新原点。
椭圆化为 \(\dfrac{(X-2)^{2}}{4}+\dfrac{Y^{2}}{3}=1\)，即 \(3X^{2}+4Y^{2}-12X=0\)。
直线 \(l\) 化为 \(X-tY=3\)。
把一次项 \(-12X\) 写成 \(-4X\cdot 3=-4X(X-tY)\)，方程成为齐次式：
\(3X^{2}+4Y^{2}-4X(X-tY)=0\ \Longrightarrow\ -X^{2}+4tXY+4Y^{2}=0\)。
\(3X^{2}+4Y^{2}-4X(X-tY)=0\ \Longrightarrow\ -X^{2}+4tXY+4Y^{2}=0\)。
✓
除以 \(X^{2}\)，令 \(k=\dfrac{Y}{X}=k_{AM}\)：\(4k^{2}+4tk-1=0\Rightarrow k_{1}k_{2}=-\dfrac14\)
第（2）问 · 由定值到定点
Constant Product ⟹ Fixed Point
同一个套路
解 析
设 \(l':x=ty+m\)，移轴后即 \(X-tY=m+2\)（\(l'\) 不过 \(A\)，故 \(m+2\neq0\)）。
用直线方程替换一次项：\(-12X\ \to\ -12X\cdot\dfrac{X-tY}{m+2}\)，得
\((3m-6)X^{2}+12tXY+4(m+2)Y^{2}=0\)。
除以 \(X^{2}\)：\(4(m+2)k^{2}+12t\,k+(3m-6)=0\)，两根即 \(k_{PA}\)、\(k_{QA}\)。
故 \(k_{PA}\cdot k_{QA}=\dfrac{3m-6}{4(m+2)}=-\dfrac94\ \Longrightarrow\ m=-1\)。
✓
\(l':x=ty-1\) 恒过 \(G(-1,0)\) —— 与 \(t\) 无关
追问一 · 反过来说成立吗？
Does a Constant Product Force a Fixed Point?
关键一问
追 问
把结论倒过来问：只要 \(k_{PA}\cdot k_{QA}\) 是定值，直线 \(PQ\) 就一定过定点吗？
由上面的式子 \(m=\dfrac{3-4\lambda}{12}\)（记 \(\lambda=k_{PA}\cdot k_{QA}\)）。
由上面的式子 \(m=\dfrac{3-4\lambda}{12}\)（记 \(\lambda=k_{PA}\cdot k_{QA}\)）。
令 \(\lambda=\dfrac34\)，得 \(m=0\)，直线化为 \(nY=1\)，即水平线 \(Y=\dfrac1n\)。
此时 \(k_{PA}\cdot k_{QA}\) 仍是定值 \(\dfrac34\)，但直线是一族互相平行的水平线。
!
平行的直线没有公共点 ——「积为定值」不蕴含「过定点」
追问二 · 换一个不变量
From Product to Ratio
第三定义登场
追 问
换一个不变量看看：\(\dfrac{k_{AM}}{k_{BN}}\) 是不是定值？
由（1）知 \(k_{AM}\cdot k_{AN}=-\dfrac14\)；又 \(N\) 在椭圆上，由第三定义
\(k_{AN}\cdot k_{BN}=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=-\dfrac34\)。
两式相除：\(\dfrac{k_{AM}}{k_{BN}}=\dfrac{-1/4}{-3/4}=\dfrac13\) —— 也是定值。
✓
\(\dfrac{k_{AM}}{k_{BN}}=\dfrac13\)：\(A\) 处的斜率与 \(B\) 处的斜率之比被「锁死」了
第（4）问 · 交点的轨迹
About That Ratio
定直线
解 析
延长 \(NB\)、\(AM\) 交于点 \(T\)，求 \(T\) 的轨迹。
设 \(T(x,y)\)。由 \(T\) 在 \(AM\)、\(BN\) 上，\(\dfrac{k_{AT}}{k_{BT}}=\dfrac{k_{AM}}{k_{BN}}=\dfrac13\)。
即 \(\dfrac{y}{x+2}\div\dfrac{y}{x-2}=\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac13\)。
✓
解得 \(x=4\)：\(T\) 恒在定直线 \(x=4\) 上（椭圆的右准线）
这条线，走到高考题里
2023 · 新高考Ⅱ卷 · 压轴
真题
21
已知双曲线 \(C\) 的中心为坐标原点，左焦点为 \((-2\sqrt5,0)\)，离心率为 \(\sqrt5\)。
（1）求 \(C\) 的方程；
（2）记 \(C\) 的左、右顶点分别为 \(A_{1}\)、\(A_{2}\)，过点 \((-4,0)\) 的直线与 \(C\) 的左支交于 \(M\)、\(N\) 两点，\(M\) 在第二象限，直线 \(MA_{1}\) 与 \(NA_{2}\) 交于点 \(P\)。 证明：点 \(P\) 在定直线上。
（1）求 \(C\) 的方程；
（2）记 \(C\) 的左、右顶点分别为 \(A_{1}\)、\(A_{2}\)，过点 \((-4,0)\) 的直线与 \(C\) 的左支交于 \(M\)、\(N\) 两点，\(M\) 在第二象限，直线 \(MA_{1}\) 与 \(NA_{2}\) 交于点 \(P\)。 证明：点 \(P\) 在定直线上。
真题分析 · 找那把「锁」
Find the Invariant
第（2）问
分 析
第（1）问：\(e=\dfrac{c}{a}=\sqrt5\)，\(c=2\sqrt5\) ⟹ \(a=2\)，\(b^{2}=c^{2}-a^{2}=16\)，
故 \(C:\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{16}=1\)。
要证 \(P\) 在定直线上，只需找 \(\dfrac{k_{PA_{1}}}{k_{PA_{2}}}\) 的定值 ——
它分别等于 \(k_{A_{1}M}\)、\(k_{A_{2}N}\)。
由直线过 \((-4,0)\)：设 \(x=my-4\) 联立，得 \(k_{A_{1}M}\cdot k_{A_{1}N}=-12\)。
又 \(N\) 在双曲线上，第三定义给出 \(k_{A_{1}N}\cdot k_{A_{2}N}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=4\)。
✓
两式相除：\(\dfrac{k_{A_{1}M}}{k_{A_{2}N}}=\dfrac{-12}{4}=-3\)
真题收尾 · 交点落在定直线上
Finishing the Proof
第（2）问
解 析
设 \(P(x,y)\)。\(P\) 在 \(MA_{1}\) 上 ⟹ \(k_{PA_{1}}=k_{A_{1}M}\)；
\(P\) 在 \(NA_{2}\) 上 ⟹ \(k_{PA_{2}}=k_{A_{2}N}\)。
于是 \(\dfrac{k_{PA_{1}}}{k_{PA_{2}}}=\dfrac{k_{A_{1}M}}{k_{A_{2}N}}=-3\)，
即 \(\dfrac{y}{x+2}\div\dfrac{y}{x-2}=-3\)。
\(\dfrac{x-2}{x+2}=-3\ \Longrightarrow\ x-2=-3x-6\ \Longrightarrow\ x=-1\)。
✓
点 \(P\) 恒在定直线 \(x=-1\) 上 —— 这就是压轴的答案
课堂小结
One Thread Through It All
定定值 → 定点
椭圆里 \(k_{AM}\cdot k_{AN}=-\dfrac14\)、\(k_{PA}\cdot k_{QA}=-\dfrac94\Rightarrow G(-1,0)\)。
但「积为定值」不蕴含「过定点」 —— \(\lambda=\dfrac34\) 时直线反而互相平行。
比比值定 · 直线定
\(\dfrac{k_{AM}}{k_{BN}}=\dfrac13\Rightarrow T\) 在 \(x=4\) 上；双曲线里
\(\dfrac{k_{A_{1}M}}{k_{A_{2}N}}=-3\Rightarrow P\) 在 \(x=-1\) 上。比值锁住了交点的横坐标。
法两件工具
① 齐次化：一次项用直线方程替换，除以 \(X^{2}\) 直接读出斜率之积；
② 第三定义：圆锥曲线上一点与两顶点连线的斜率之积 \(=\pm\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)。
② 第三定义：圆锥曲线上一点与两顶点连线的斜率之积 \(=\pm\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\)。
谢谢各位老师
THANKS FOR LISTENING